选好数学探究课题，促核心素养的形成

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的过程.数学探究活动的核心，就是培养学生发现、提出、分析、解决数学问题的能力。在这一过程中，促进学生数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养的形成，使他们会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维分析世界、会用数学的语言表达世界，使学生探究能力得到提升的同时，逐步形成主动探究学习的习惯和意识，从而深刻地理解所学知识与方法，建立起知识之间的内在联系，从整体上理解数学.

数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容.在《课标（2017版）》中，数学建模活动与数学探究活动是贯穿高中数学课程四条主线（函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动）之一的课程，它既是5个必修课程的主题之一，又是4个选择性必修课程的主题之一，并安排了必要的课时及学分，其重要性可见一斑.

数学探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，促进他们思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律.

数学探究课题的选择是完成探究学习的关键。课题的选择要有助于学生对数学的理解，有助于学生体验数学研究的过程，有助于学生形成发现、探究问题的意识，有助于鼓励学生发挥自己的想像力和创造性.下面通过案例分析就数学探究课题的选择进行粗浅的探究，以期对促进学生核心素养的培养提升有所帮助.

1  数学探究课题可以是某些数学结果的推广和深入，不同数学内容之间的联系和类比

通过对数学中某些结果的推广和深入有利于学生发散思维的培养，拓宽解题思路，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的不可多得的好素材.

案例1  平面三角形与空间四面体的类比.

根据平面三角形的性质通过类比探究推测空间四面体的性质如下：

评注：教学中学生在已有三角形的知识的前提下，自己通过类比、归纳、猜想得出命题，再对所得命题进行论证.在这一过程中学生的抽象思维能力，逻辑推理能力得到提升.在从平面图形向空间图形思维跳跃的过程中，学生的几何直观素养也得到提升.

2  数学探究课题可以从教材提供的案例和背景材料中发现和建立   

教材中有许多例题、习题往往隐含着一些学生尚未发现的结论，教师在教学中要引导学生进行深层次的挖掘、延伸，由学生去发现、探究出新的结论，得出更一般的规律.

案例2  抛物线的焦点弦问题（人教A版《数学》（选修2-1）第69页例4）：斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.

教材中给出两种思路：（1）根据已知得出直线的方程，与抛物线方程联立方程组求出两点的坐标，利用两点间的距离公式求线段的长，这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数匀速；（2）利用数形结合，由抛物线的定义得出，不必解方程，只需利用根与系数的关系求得的值即可，优化了运算过程.

探究1  改变例4条件：斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.

结论1  .

结论2   .                                 

结论3  （为直线的倾斜角），当时，为抛物线的通径.

结论4  .

结论5  .

探究2  倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求三角形的面积.

结论6  .

探究3  直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，

设及其中点在准线上的射影分别为，求（1）的大小；（2）判断以为直径的圆与准线的位置关系；（3）判断分别以为直径的圆与轴的位置关系.

结论7  .

结论8  以为直径的圆与准线相切；分别以为直径的圆与轴相切.

评注：对教材中的一些典型例题和习题进行挖掘、引申、推广，既能更好地发挥例题和习题中蕴含的重要的数学思想方法，有效巩固基础知识，又能培养学生的探究能力和创新能力，发展学生的数学思维，有效提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.

3  数学探究课题可以以现实生活为背景，创设探究性学习问题

《课标（2017年版）》指出：数学教育引导学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维分析世界、会用数学的语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意思的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任感；教师在日常教学中应力求帮助学生运用数学认识世界，在运用中中体会数学的威力，培养学生用数学的观点探索周围的世界，把学数学和用数学结合起来，形成数学应用意识，增强自觉的社会责任感.

案例3  从研究“城市垃圾加倍的周期”的社会性课题引入指数函数.

2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50000立方米”，副标题是“垃圾的体积每三年增加一倍”，教师展示这条新闻，并且利用其引入指数函数的学习.

探究：如果把三年作为垃圾体积加倍的周期，试探究垃圾的体积（立方米）与垃圾体积加倍的周期（三年）数的函数关系式.

城市垃圾的总体积随周期数的变化情况表

问题1  试问18年后本市垃圾的体积是多少？

问题2  估计3年前的垃圾的体积是多少？

问题3  若，则表示什么信息？

问题4  试写出与的函数关系式，并画出图像.

问题5  函数图像与轴相交吗？为什么？

评注：以现实生活作为背景，建立数学模型，从具体问题的考查入手，将实际问题抽象转化为数学问题，探究指数函数的意义、一般形式、图像及其性质。从指数函数的学习学生体会到垃圾体积的指数爆炸式的增长的严峻情况，从而意识到生态环境的保护问题、废物的利用问题等.在教学中，对这些问题的探究可激发学生的学习兴趣，有利于培养学生提出问题和应用数学知识解决问题的能力，学生数学抽象、数学建模的素养得到提升.

4  数学探究课题可以借助信息技术应用来完成

运用现代信息技术可以使学生在网络信息技术环境下的高中数学教学过程中，有效地运用信息技术在有限的时间内最大限度地获取信息、处理信息、传递交换信息，形成自主探究的能力，使学生掌握自主探究学习的方法，具有自主探究的精神和自我获取知识、更新知识的能力.

数学探究可以利用《几何画板》的动态性和形象性，创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、发现结论、猜测并验证.

案例4  用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆.

探究1  如图，是定点，是不经过点的直线，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是小于1的常数，用《几何画板》软件画出动点的轨迹.

探究2  在的范围内，改变的大小，画出动点的轨迹.

探究3  改变点与直线的位置，画出动点的轨迹.

问题1  动点所满足的几何条件是什么？动点的轨迹是什么图形？

问题2  比值的变化对动点的轨迹有什么影响？比值的大小在什么范围内，动点的轨迹是椭圆？

借助直角坐标系，我们可以把上述问题叙述为：

若点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，则点的轨迹是一个椭圆（如图2）,定点是椭圆的一个焦点，直线称为相应于焦点的准线.由椭圆的对称性，相应于焦点，椭圆的准线是.

问题3  你能推导出上述椭圆的方程吗？这个椭圆的长轴长、短轴长、离心率分别是多少？

评注：学生通过动手操作探究对椭圆有了直观感知，进而对椭圆的定义（第二定义）有更深刻的理解，进一步利用所学知识得到椭圆的方程.学生在信息技术的支持下，更充分、更有效地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明等各种数学思维活动，使学生获得对数学本质理解的同时，数学思维能力得到培养，数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学素养得到提升.

此外，数学探究课题还可以是发现和提出有意义的数学问题、猜测合理的数学结论、提出解决问题的思路和方案、数学基本概念和规律、不同数学内容之间的联系和类比、发现和探索对自己来说是新的数学结果.数学探究课题（问题）的选择利用，对学生探究能力、自主学习能力的培养，数学素养的提升是至关重要的.课题（问题）设置得好，才能吸引学生积极主动去探究，发挥学生学习的自主性，课题（问题）的作用才能体现出来；课题（问题）设置得好，有助于激活学生内在的动力，有助于深化学生对知识的理解，有助于培养学生的创新能力、实践能力，有助于提升学生的数学素养.

数学探究课题的选择是复杂多变的，我们教师应努力成为数学探究课题的创造者，具有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数学探究做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源.

参考文献:

[1]  中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[]．北京：人民教育出版　

　　　社，2003．

[2]  中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[]．北京：人民教育出版社，2017.

[3]  严士健，张奠宙，王尚志．普通高中数学课程标准（实验）解读．南京：江苏教育出版社，2004．

[4]  王申怀．普通高中课程标准实验教科书：数学（选修2-1）．2版．北京：人民教育出版社，2007．

[5]  王林全．高中数学新课程背景，实施和评价．福建中数教育，2005（1）.