系统优化  高效生成

摘要：数学教学要善于利用和组织教材，追求实效和教学整体最优化，努力提高教学效果和效率．本文以函数单调性的教学设计为例来实践上述要求．

关键词：效果；效率；因材施教；整体优化；单调性的教学设计

1  教学设计的视角

设计或评议同样一堂课，往往是各有各法、众说纷纭，这是因为不同的人有其不同的教学认识和倾向．由于新课标的要求，“教坛新秀”的赛课常出现表面热闹，实质教学效果不佳的“作秀”，这是一种片面、肤浅地迎合新课改的现象．数学教学应该返璞归真，追求实效，不要为形式而形式，为教改而教改，我们要能以自己的“实践性智慧^[1]”来真正实现新课标的要求．为提高教学效果，要注意从下三个视角或要求来审视或设计数学教学．

（1）明确教学目标．确定好恰当的教学目标是提高教学效果的前提，离开教学目标空谈教学效果是没有意义的．课堂教学目标要能根据现实的学生情况以及教材特点和新课标要求来拟定，不能固定不变，千人一面．

（2）因“才”和“材”施教．因才施教是指教学要适应学生，以人为本，“适合的才是最好的”；因“材”施教是指要能对不同的教材采取相适应的教学方法，充分挖掘利用其教学价值．我们既要能因教材的价值而教学，又要能为实现教学目标而组织或设计教材，并在整体最优化的总目标指导下的协调定位好各个教学子目标．

（3）系统优化，高效生成．“教学实践表明：没有效率的教学是走不远的” ^[2]. 数学一个系统，数学教学也是个系统工程，要提高数学教学效率，就必须从系统的整合优化入手．设计一堂数学课，首先应该定位好这节课在这个教学单元或整个课程发展体系中的位置和作用，然后再优化整合好本节课的小系统．“消枝裁叶，突出主题”是优化整体，提高教学效率的基本策略．

2  函数单调性的教材和教法分析

基于高中数学教学的系统性，必修一中“函数的单调性”是高一新生第一次学习用抽象数学符号刻画几何直观变化的过程．对抽象的数学符号语言的理解及推理过程是高中数学最难的地方，这是个挑战，也是“因材施教”，培养学生能力的好机会．所以本节课在教学过程中要着眼于学生抽象的形式推理能力培养，帮助学生体会数学形式化定义和推理过程的意义，进一步发展学生的能力．

从本章节的整体性来看，函数的单调性要三个课时，第一课时重点在于对函数单调性的意义及其形式化定义的理解和初步应用，第二、三课时则侧重于函数单调性的判断和应用．由于是首次接触这种形式化定义，学生缺乏经验，要靠学生自己“主动构建”出这种定义是不可能的！但机械地灌输和模仿训练也是不可取的，这样既不利于学生理解和掌握函数的单调性，也不利于学生正确的数学观念的形成和抽象推理能力的发展．我们教师要能对教材进行“再创造”，通过精心设计的一系列问题，让学生经历“再创造”地学，从中理解函数单调性的意义和形式化定义．

课堂教学是“社会建构”，即“师生共建”性的高效率学习，所以一方面要在学生能力和时间允许范围内尽量让学生独立思考解决问题，另一方面教师要对学生的疑难及时地给予启发引导，或用“师生共做”的方式解决，甚至有些问题教师可以采取“设问自答”的方式，但至少要让学生和教师共同经历这些问题的思考过程．这样既可以让学生在问题思考的经历中理解知识，了解思维探究方法，又可以把握好课堂教学的节奏，比较高效率地在课堂45分钟内完成教学任务．

3  教学设计

教学目的：使学生经历函数单调性定义的形成过程，从中理解单调性定义的意义．初步掌握函数单

调性的判断方法．体会数学化的思想和意义，感受数学的严谨性和理性精神．

教学重点：理解单调性的定义，掌握单调性的判断方法．

难点：函数单调性形式化定义的理解和掌握．

教学过程：

环节1 创设情境，引入课题

教师在黑板上作曲线图模拟股票上涨、下跌和股民心情的变化（尽量生动搞笑些），最后装腔作势地发誓:“我是股民，我一定要弄明白股票啥时上涨，啥时下跌！”，这样既活跃了课堂，又激发了学生学习函数单调性的兴趣．接着说明图象的上升、下降是函数的基本性质，称之为“单调性”，并结合函数曲线提出函数在某区间上是增函数或减函数的概念，由此引出函数单调性（板书）．

通过直观引入股票涨势图，引出主题．

环节2 问题引导，形成概念

（1）课题引入后，师质疑：如何分析函数 的单调性？

用此问题说明对熟悉的函数可直接用“图象判断法”分析其单调性．

（2）师质疑：你们能判断函数 的单调性吗？

学生不知此函数的图象，怎么办呢？师引导学生回顾前递增、递减函数的图象，发现： 在区间D递增 与 同增同减； 在区间D递减 与 增减相反．显然，  ，所以函数 在 是增函数．用几何画板作图验证，果真如此！我们可以把这种方法叫做“趋势判断法”．接着学生练习用此法分析函数 在 的单调性， 的单调性等．并举个反例，说明这种借助了直觉的方法不是绝对可靠，只适合简单问题的判断，不可以作为严格的数学证明．

（3）师质疑；你们能判断函数 在区间 上的单调性吗？

这下学生又傻眼了！再次的认知冲突激发了学生强烈的求知欲，师相机引导：看来我们还得深入探究函数单调性的代数本质！

师质疑:“ ”与“对任意的 区间D，当 时，都有 ” 等价吗？结合图形，用生动形象的描述，引导学生理解其等价性（递减性同理）．

于是我们有了第三种判断方法：对任意的 ，设 ，则

, ， ，

， 在区间 是减函数．用几何画板作图验证，果真如此！

（4）反思总结：函数单调性的这三种判断方法体现了逐渐代数化、精确化的过程，“趋势判断法”是通向严格的形式化定义的“脚手架”，第三种方法完全实现了代数化，最精确可靠，充分体现了数学化的作用和魅力，它也是函数单调性最深刻的代数本质的体现，所以我们就把它当作函数单调性严格的代数定义．

此环节以寻找判断方法为主线，虽然后两个问题更多地是依靠教师的引导分析，但这样展现了由三个递进的问题引发的探究性教学生成过程，既让学生系统了解函数单调性的三种判断方法，又让学生体会到这种抽象的形式化定义产生的必要性和作用，经历了数学化的过程；既突破了教学难点，又充分利用了此环节的教学价值，提高了教学效果．

（1）阐述本质，系统建构．

师要强调上关系结构的可逆性、等价性，顺推是判断，反推则成性质．“同增同减，同大同小”等口诀便于学生形象记忆和灵活应用，以克服抽象的形式定义的学习困难．此关系结构将是学生理解和应用函数单调性的有力抓手，有利于完善学生的认知结构，提高教学效果．

（2）反例思辨，精确掌握．下列判断正确吗？请说明理由．

①因为 ，所以函数 在区间 是增函数；

②因为 ，所以定义在 上的函数 在区间 不是减函数；

③函数 在区间 是减函数．

以此强调定义中的“任意”、“都”关键词不可或缺．光靠教师口头强调关键词，即使喊破喉咙也效果一般．只有让学生经历错误，痛定思痛，才是防止学生出错的最有效的办法．

环节4 练习巩固，形成技能

单调性的形式化定义比较难理解，也比较难掌握．在前三个环节的教学基础上，学生对函数的单调性形成了初步认识，在此基础上进行初步的应用训练，有助于增进单调性这种操作性概念理解．

（1）算法规范：对前例“ 在区间 上的单调性”的解答过程进行“算法化”整理为四个操作步骤：①取值；②作差；③定号；④定论．

数学具有“算法性”，即为一系列的操作步骤，且要求规范、严谨．所以要注意整理出系列的操作步骤，以便于学生掌握，提高教学效果．

（2）巩固性练习：证明函数 在区间 是增函数．

这是第一次的模仿训练，所以题目要简单，这样可以集中时间和精力学好这种推理形式和书写规范（可安排两个学生做对比性板演）．

（3）试错性练习：证明函数 在区间 是增函数．

学生易发生“ ”说理不明确的问题，强调进行“分子有理化”，即“ ”，这样说理更明确．由此让学生体会追求确定性的数学理性精神．

在单调性的证明中，学生除形式的规范性外，还常出现的一个问题是在“定号”环节说理不明确，甚至“浑水摸鱼”地随意下结论．教师要能预见学生学习和作业过程中可能出现的疑难和错误，在课堂教学中提前让学生试错纠正，这样有助于提高学习效果．

环节5 综合思考，反思总结

这是本课的“收官”，是完善学生认知结构的“点睛之笔”，对提高教学效果有重要价值．

综合思考题（可机动安排）：（1）分析函数 的单调性（用图象判断法）；（2）分析函数 的单调性（用趋势判断法）；（3）证明函数 在区间 上是增函数（用定义法），并求函数 在区间 上的值域；（4）设 是R上的减函数，若 ，求实数m的取值范围（单调性的逆向应用）．

在综合思考题的基础上，结合前保留的重要板书，引导学生从单调性的判断方法及其解答规范，数学化思想及其意义等方面对本课所学进行梳理总结，强调只有“定义法”才能作为严格的数学证明．

课堂教学中的例题和思考练习题要典型，目标明确，主题突出，系统有层次，避免随意和杂乱，不要因其它问题冲淡了主题的学习，这样才能提高主题的学习效果和效率．

本课的主线是单调性的判断，第一环节是引子，通过第二、三、四环节阐述本节的核心和重点，在此基础上通过第五环节的总结和提升，这五个环节层层递进，相互配合，缺一不可，形成一个完整的教学系统．

参考文献：

[1]  郑毓信.数学教育改革十五诫[J].数学教育学报，2014，23(3)：1-7.

[2]  张奠宙于波.数学教育的“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.