一个不可忽视的教学要素—例谈教材习题的重要作用

当前,高中数学教学忽视教材习题的作用,处处可见.众多高中学生和相当一部分高中数学教师不重视教材习题研究,从而,错误认为教材的习题太简单,做教材习题无法应对高考,而把课外教辅材料当做解题宝典.这种本末倒置的认识是非常可悲的,其造成的后果是学生机械重复做了大量的习题(“题海战术”),而数学能力并没有提高,导致绝大部分学生厌恶数学,高考数学也不可能取得好成绩,更谈不上学生核心素养的发展.

尽管教研部门的各种培训都在强调“回归课本”,但众多教师置若罔闻.笔者经过长期调研发现,很多教师不是不重视教材习题研究,而是不懂得挖掘教材习题内涵和隐藏的数学思想和方法；不懂得将教材习题改造、引申、推广得到有价值的结论;不懂得众多高考试题源于教材,根植于教材之中.因此,要使广大数学教师认识教材习题的重要性,必须引导教师从以下几个方面研究教材的习题.

1、   研究一题多解,挖掘所隐藏的数学思想方法

对于教材习题的学习,学生常常只关注会不会解这一道题,很少关注习题所隐藏的数学思想方法.众所周知,数学习题可以千变万化,但其隐藏的数学思想方法是永恒的,领悟了数学思想方法,就抓住解决数学问题的金钥匙,做到以不变应万变.教学实践表明, 对教材中精典习题一题多解的研究,引导学生挖掘问题的多向性和解决问题的多样化, 既能提高学生学习数学的兴趣,又是挖掘习题所隐藏的数学思想方法的重要途径..

案例1  (苏教版高中数学选修4─5第17页例7)已知 证明:

证法一(比差法)

=

.当且仅当 时等号成立.

点评  该证法是教材中所给的证法,属于传统的比差法.即作差 变形 定号.这种证法思路简单,但因式分解要求较高,其结果是学生有思路但不易成功.

证法二(添项法) 因为   ……①,且   ……②

则由①+②得: ,从而有 当且仅当 时等号成立.

点评  添项法的关键是合理运用二元均值不等式:若 则 ,当且仅当 时等号成立.该证法简洁、流畅,体现了构造的数学思想方法,为学生进入高校学习高等数学打下坚实的基础.难点是构造项,学生不易想到.

证法三(导数法)设函数 , 其中 为正的常量.

则由 得: (舍去),所以 时,   时, .则由函数的单调性可得:  ,故 当且仅当 时等号成立.

    点评  导数法的本质就是构造函数 ,将证明不等式问题转化为证明函数 的最小值不小于零,而利用导数求三次函数最值的方法属于通性通法,学生没有困难都能完成. 该证法思维含量高,体现了化归转化的数学思想和函数思想.

2、研究一题多变,培养学生创新意识

一题多变,变的是形式,不变的是本质.平时教学中,教师要善于利用教材中的精典习题,引导学生探究一题多变,给学生足够的创造空间,充分发挥学生的主体作用,激励学生去思考,从而 激发学生的创新意识.

案例2  （人教A版高中数学选修2—1第73页习题A组第6题） 为坐标原点,若直线 与抛物线 相交于A，B两点，求证 .

分析 设

由 得  因为 所以 .

则 = ,

因此, ,即

变式1  为坐标原点,若直线 与抛物线 相交于 两点，问 与 是否垂直?

分析 设 由 得  因为 , 所以 .则

= 因此, ,即

变式2  是坐标原点, 若过点 的直线与抛物线 相交于 两点，问 与 是否垂直?

分析 设 ,直线 方程为 .

由 得 因为 所以 .

则 .因此, ,即

变式3  是坐标原点, 直线 与抛物线 相交于 两点，若 ,直线 是否过定点?

分析 设 ,直线 方程为 .

由 得 已知 ,所以 .

则 .即 , 因为 ,所以 ,则直线 过定点

由学生归纳得到定理: 是坐标原点, 直线 与抛物线 相交于 两点，则 的充要条件是直线 过定点

通过对习题的条件的变化以及条件和结论的互换,逐步引导学生探究问题的本质,最后由学生得到课本没有的新定理,从而培养学生发散性思维.研究资料表明:学生创新意识与他的发散性思维成正比.

3、研究习题的推广,提高学生的思维起点

学好数学的有效方法是“再创造”,在日常的教学中,教师要积极引导学生研究教材经典习题推广,由学生去发现或创造出新的结论,寻找更一般的规律.长期坚持,能激发学生学习兴趣,促使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式.教学实践表明, 研究习题的推广是提高学生的思维起点的有效途径.

案例3（人教高中《数学》A版选修2—1第41页例3）设点 的坐标分别为 .直线 相交于点 ,且它们的斜率之积是 ,求点 的轨迹方程.

在解完本题后,教师要抓住契机,引导学生归纳出一般结论1: 设点 的坐标分别为 .直线 相交于点 ,且它们的斜率之积是 ,求点 的轨迹方程.当学生得到轨迹方程为 后,再请学生探究问题2: 设点 是椭圆 上关于坐标原点 的对称两点,点 在椭圆上且异于点 ,记直线 的斜率分别为 ,问 是否为定值?

引导学生探究:设题意可设点 ,则 ,因为点 在椭圆上,所以,   ①              ②,①-②并化简得: ,则 =定值.对于双曲线有类似结论.

总结得一般结论: 设点 是椭圆 上关于坐标原点 的对称两点,点 在椭圆上且异于点 ,记直线 的斜率分别为 ,则 .

如（2011年高考数学江苏卷第18题）在平面直角坐标系 中, 分别是椭圆 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 两点，其中 在第一象限,过 作 轴的垂线,垂足为 ,连接 ,并延长交椭圆于点 ,设直线 的斜率为 .

（Ⅰ）、（Ⅱ）略

（Ⅲ）对任意 ,求证: .

    证明:由题意可设点 .记直线 的斜率分别为 ,由结论得 ,因为点 ,所以 ,则 ,又 ,故 ,从而 .

对于选择题和填空题,我们所得到的“结论和方法”可以直接使用,对于解答题,不宜直接使用,而应把定理推导重写一遍,既使这样也比常规方法简单的多.教学实践证明,对教材中一些典型例题和习题的结论进行推广,既可以培养学生的探究能力,提高学生思维起点,又可以提高学生高考数学成绩.

笔者的多年教学实践表明,对教材习题研究是一个不可忽视的问题,发挥教材习题的重要作用,引导学生回归课本,使数学概念和习题教学落到实处,这才是高中数学教学的“正道”.

作者简介:郭胜光,男,1963年9月出生,汉族,福建邵武人,邵武一中校长,正高级教师,全国模范教师,福建省特级教师,福建省中学数学教学学科带头人,2008年、2010年全国高考数学（福建卷）命题组成员,主要从事数学教育、中学数学以及高考命题研究.多篇论文在数学杂志发表,多篇论文被人民大学《高中数学与教学》复印并全文转载.