函数与导数一直以来都是高考的一个热点，而这部分内容与不等式又是密不可分的，在解决较为复杂的不等式问题，尤其是抽象不等式，常常要构造一个函数并借助函数的单调性脱去不等式中的函数符号“ ”，把它化归为显性不等式（组）来求解，而函数的构造往往需要利用导数的运算法则.本文结合本人在高三总复习过程中的一些体会及近些年全国高考对这部分内容的考察情况谈谈如何利用导数运算法则构造函数解抽象不等式.
1 利用和、差函数的导数运算法则构造函数
例1 设函数 在 上均可导，且 则当 时（ ）.
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
分析 由题设中的“ ”，容易联想到差函数的导数运算法则，从而构造函数 又由已知得 ，可知函数 在 上为增函数，
例2 （2017年新课标Ⅰ理5改编）函数 在 单调递减，且为奇函数.若 ，则满足 的 的取值范围是（ ）．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
分析 由所求不等式可尝试构造函数 ，因为函数 在 单调递减，所以 ，从而 ，因此 在 单调递减，又 ， 是奇函数， ，从而 ， ，由此得 .故选 .
点评 是不含解析式的抽象函数，尝试构造函数 ，并注意到 是解题的关键.
例3 (2015年福建理10)若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）.
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
分析 由已知条件及所给四个选项的结构特征，构造函数 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，又 ，所以 ，即 ，因此结论中一定错误的是 ，选项 无法判断；构造函数 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，又 ，所以 ，即 ，选项 无法判断.故选 ．
点评 解答本题的关键是联系已知导数不等式“ ”和所给四个选项的结构特征，利用函数差的导数运算法则构造两个不同的函数 和 .
2 利用积函数的导数运算法则构造函数
例4 设函数 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）.
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
分析 由题设“ ”，联想到积函数的导数运算法则有“ ”，于是可构造函数 ，当 时， 单调递增.又 为奇函数， 为偶函数，所以 为奇函数，从而 在 上亦为增函数.由 .结合 的图像，可得不等式 的解集为 .故选 .
变式 已知函数 为定义在 上的偶函数，在 时， 恒成立，且 ，则不等式 的解集为 .
提示 把题设中的条件“ ”与例4中的条件“ ”对比不难发现它们结构相似，只要让例4中的 即可.从而可构造函数 ，再利用 的性质，最后求得不等式的解集为 .
例5 （2017年江苏11改编）已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若 ，则实数 的取值范围是 .
分析 因为 ，所以函数 是奇函数.因为 ，所以函数 在 上单调递增.又由 ，可构造函数 ，因为 是 上的奇函数且单调递增，所以 是 上的偶函数，且当 时， ，从而 ，所以 在 上是增函数，在 上是减函数，因此 .故实数 的取值范围为 .
点评 本题已知函数和所求不等式都较为复杂，如果采用代值求解显然不可取，于是乎解题方向应该是构造一个新的函数，利用函数的单调性脱去不等式中“ ”.这也是解这一类不等式我们常常采用的一种方法.
变式 （2017年天津理6）已知奇函数 在 上是增函数， .若 ，则 的大小关系为（ ）．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
提示 解答本题的关键是类比例5判断 的奇偶性和单调性.可得 是 上的偶函数且在 是增函数，进一步比较可得 .选择 选项.
3 利用商函数的导数运算法则构造函数
例6 （2015年新课标Ⅱ理12）设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）.
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
分析 题设的条件 与所求结论 似乎没有什么关系，但有了例4变式的解题经验，可以帮助我们联想到商函数的导数运算法则，当 时，由已知条件变形得 ，于是可构造函数 ，且 在 单调递减.又 是奇函数，故 是偶函数，所以 在 单调递增，且 .当 时， ，则 ；当 时， ，则 .综上，使得 成立的 的取值范围是 .故选 .
点评 注意到题设条件“ ”与“ ”的不同，进而联想到函数商的导数运算法则，由已知变形得 ，是本题的关键.
变式 已知函数 为定义在 上的连续可导函数，且 ，则不等式 的解集为 .
提示 所求不等式 可变形为 ，于是类比例5可构造函数 ，再利用 的性质，最后求得不等式的解集为 .
4 借助基本函数的导数结合导数的四则运算法则构造函数
例7 （2017年江西五校联考理12）定义在 上的函数 的导数 满足 ，则下列不等式中，一定成立的是（ ）.
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
分析 结合已知导数不等式 ,借助 可得 ，即 .于是可构造函数 ，且 在 单调递减，因此有 ，即 .故选 .
点评 注意到基本函数的导数 ，并结合导数的运算是解决本题的突破口.
例8 若函数 定义域 ,满足 对于定义域 内的任意 恒成立.
（1）比较 与 大小；
（2）求证：对于任意正数 ，均有 .
分析 （1）由 与 的结构关系，将其变形为 与 ，因此可构造函数 .又 ， 为定义域上的增函数.
（ⅰ）当 时，有 ；
（ⅱ）当 时，有 .
（2） ，
.
由 为增函数，有 ，
即 .
将以上不等式相加并化简，可得
成立.
点评 本题若是直接从已知条件“ ”出发难以入手，但注意到所求结论中含有 或是自然对数，将 与 变形为 与 ，借助基本函数的导数 及导数的运算法则构造函数 ，进而利用 的单调性解决问题.
5 通过结构变换构造函数
例9 （2016年福建省质检理12）已知 是定义在 上的减函数，其导函数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）.
Ａ．对于任意 ， Ｂ．对于任意 ，
Ｃ．当且仅当 ， Ｄ．当且仅当 ， >0
分析 是 上的减函数， ，由 变形得 ，即 .于是可构造函数 ，且 在 上单调递增，过点 .当 时 ；当 时， ；当 时，由已知得 ，又 .综上，对于任意 .故选 .
点评 在注意到在 的条件下，将已知导数不等式 两边同乘以 得 ，即 .亦即通过结构变形并结合导数运算法则构造函数.
变式 设函数 在 上的导函数为 ，且 ，下面不等式在 上恒成立的是（ ）.
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
提示 不等式 两边同乘以 ，不等式的左边即为 ，从而构造函数 ，分 和 两种情况，通过判断不等式右边 的符号来判断 的符号，从而得到 的单调性，由函数 的性质可得对任意 ，都有 .选择 选项.
以上不管是哪一种构造方法，都要把所求问题的外形结构与已知导数不等式的特征联系在一起，联想导数的运算法则，有时还要借助基本函数的导数公式进行构造.有的可以直接构造，有的则需进行结构变形后再构造.对于几种比较常见的积、商函数的导数运算法则的运用我们总结出以下几种模型：
关系式为“+”型：
（1） ，可构造函数 ；
（2） ，可构造函数 ；
（3） ，可构造函数 .
关系式为“-”型：
（1） ，可构造函数 ；
（2） ，可构造函数 ；
（3） ，可构造函数 .
