指向数学建模的《直线的参数方程》教学

【教学目标与内容】

1、教学目标

（1）通过确定直线的几何条件，借助向量工具探究直线的参数方程，培养数学建模的素养；

（2）经历特殊入手，类比分析得到直线的参数方程，在参数方程的推导过程中，提升数学抽象、数学建模以及逻辑推理的核心素养；

（3）能利用直线的参数方程解决简单的问题，体会参数方程的优越性，提升数学运算的素养。

2、重点与难点

     教学重点：直线的参数方程的的推导，对参数的几何意义的理解及其简单应用。

  教学难点：对直线的参数方程中参数几何意义的理解。

【教学策略】

1、学情分析

学生通过必修2《平面解析几何初步》和选修2-1中《圆锥曲线与方程》的学习，他们具备了一定的解析几何基础知识和基本能力，具备了数形结合研究几何问题的经验，并且已经学习了特殊二次曲线的参数方程，对参数方程的意义和建立方法有一定的认识。但是自主探究能力和演绎推理能力还有待进一步提高。

2、教法分析

采用引导探究和启发讨论法进行探究新知。通过对直线普通方程的几种形式的回忆引导学生总结出确定直线的两个几何条件（一个定点和倾斜角），进而引导学生利用向量的方法得出直线参数方程的标准形式；利用向量的知识，类比数轴上点的坐标和数轴上两点的距离公式，引导学生从数量和方向两方面探究参数的几何意义及直线上任意两点的距离；在应用新知的同时启发学生与利用普通方程求解做对比，让学生体会利用直线参数方程解题的便利。

3、学法指导

自主合作探究，交流讨论，运用巩固。

【教学过程】

环节一：引出问题，做好铺垫

问题（1）：在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

师生活动：教师提出问题，引导学生对已有知识进行回顾。确定直线的几何条件可以有多种表现方式，可以是两点，引导学生把条件归结到“定点（确定直线的位置）”和“倾斜角（确定直线的方向）”上。

一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线：

进而在向量视角下确定一条直线只须：一个点，一个方向。 

说明：通过引导学生分析确定直线的几何条件，三种确定直线的视角对学生来说是知识回顾，启发知识联想，培养直观想象（由平几视角向向量视角转换），数学建模的核心素养，为利用向量解决直线参数方程问题做好铺垫。

问题（2）：什么是过点，倾斜角为的直线的参数方程？

师生活动：教师画出过点，倾斜角为的直线，学生讨论、回答，教师引导学生抓住已学过的曲线的参数方程的概念：确定参数，把直线上任意一点的坐标表示为的函数。归纳为两点：①确定参数，②建立直线上任意一点的坐标与参数，常数之间的关系。

说明：通过复习曲线的参数方程的概念，进而对直线参数方程的概念的具体化，进一步聚焦问题，使问题明了化，为解决问题做进一步的铺垫。

环节二：特殊入手，类比分析

问题（3）：数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标（用字母表示）的几何意义是什么？

教师提出问题后，引导学生从向量的角度看数轴：一个原点、一个单位向量。让学生思考并展开小组讨论，再由小组派代表展示讨论成果。教师引导、总结、归纳的几何意义：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，那么：①以为原点，以为单位向量的数轴上的坐标，且；②有向线段的数量；③。教师用几何画板软件演示上述过程。

说明：回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备。通过几何画板的演示让学生体会运动与变化、数形结合等数学思想。

问题（4）：如何确定倾斜角为的直线上的单位向量？如何写出过点，倾斜角为的直线的参数方程？

师生活动：如果把平面直角坐标系中的一条直线作为数轴，选取直线上的定点为原点，只要确定直线的单位向量，直线上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）。

类比数轴引导学生讨论，只要将轴上的单位向量（1,0）逆时针旋转即得到倾斜角为的直线上的单位向量.从而得到,将此等式坐标化得到直线的参数方程。

说明：通过单位圆把轴上的单位长度转化为单位向量，将平面直角坐标系（二维）的问题转化为已经解决的数轴（一维）问题，培养学生化归与转化的数学思想，在探究和发现问题的过程中提高学生利用数学知识分析问题、解决问题的能力，提升其数学抽象、数学建模以及逻辑推理的核心素养。

问题（5）：参数的几何意义是什么？

师生活动：类比数轴，由学生思考并归纳总结参数的几何意义：①以为原点，以为单位向量的“数轴”上的一维坐标，且；②有向线段的数量，当时，则的方向向上；当时，则的方向向下；当时，则点与点重合。③。

说明：类比数轴突破难点，突出重点，强化借助几何直观理解问题的意识，加深对参数的几何意义的直观理解，提高学生的抽象概括能力和几何直观能力，提升数学抽象素养和直观想象素养。

问题（6）：直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？参数的取值范围是什么？

师生活动：学生回答，再次明确参数方程中各个量的含义。

说明：让学生加强认识直线的参数方程中各个量的含义，为正确使用打下基础，培养学生思维的严密性。

环节三：尝试运用，加深了解

练习：（1）设直线过点（2,3），倾斜角为，试写出它的一个参数方程；

（2）直线x-y+1=0的一个参数方程是                 .

（3）直线（为参数）的倾斜角是（    ）

     A.           B.         C.         D. 

师生活动：学生自主练习，体验求直线的参数方程的过程及应注意的问题。

说明：使学生进一步熟悉直线参数方程的结构形式，为应用直线的参数方程求解问题作铺垫，培养学生的运算求解能力，提升其数学运算素养。

例1  已知直线与抛物线交于两点，求

（1）线段的长度；

（2）线段的中点的坐标；

（3）点到两点的距离之积。

师生活动：学生尝试解决，教师引导学生比较不同的解法，进一步体会参数的应用价值。

说明：巩固对直线的参数方程的理解应用，体验参数方程相对于普通方程在解题中的优越性。

问题（7）：从例1的解题过程中你能概括出哪些解决该类问题的一般性结论？

师生活动：教师引导学生围绕参数的几何意义进行思考、讨论、归纳：①直线被曲线所截得的弦长；②的中点对应的参数。

说明：加深对直线的参数方程中参数的几何意义的理解，在由特殊到一般，反思归纳的过程中，提高学生的抽象概括能力，提升其数学抽象素养。

环节四：整理小结，归纳提升

问题（8）：与直线的参数方程有联系的知识有哪些？

师生活动：教师从以下几个方面引导学生总结：①与普通方程的联系；②与向量知识的联系；③用参数表示的点的坐标、直线上两点的距离，直线被曲线所截得的弦的长、与中点或定比分点对应的参数，等等；④参数的几何意义与数轴上点的坐标的几何意义的类比。

说明：明确直线的参数方程与相关知识的联系，建立良好的认知结构。养成善于归纳反思的习惯，进一步提升其数学抽象的素养。

【课后反思】

1、以问题为引导，以发展学生核心素养为导向，启发学生独立思考，自主探究，合作交流，着力创设有利于发展学生核心素养的教学情境。引导学生把握数学的本质，理解数学内容，强化知识理解与运用，知识技能的形成，关注数学活动经验的积累。教学过程设计通过问题（1）-（6）来突出重点，突破难点，通过问题（7）-（8）加强对知识的理解，积累数学活动经验，形成技能。

问题（1）通过引导学生分析确定直线的几何条件，启发知识联想，为利用向量解决直线参数方程问题做好铺垫。

问题（2）对直线参数方程的概念的具体化，为解决问题做进一步的铺垫。

问题（3）从特殊情形数轴的概念入手，类比分析。引导学生思考，合作探究参数选择的合理性，展示交流小组讨论成果。参数的选择可以有多种视角，学生合作探究交流的过程也体现了对数学本质的理解过程。

问题（4）通过单位圆把轴上的单位长度转化为单位向量，将平面直角坐标系（二维）的问题转化为已经解决的数轴（一维）问题，培养学生化归与转化的数学思想，在探究和发现问题的过程中提高学生利用数学知识分析问题、解决问题的能力，提升其数学抽象、数学建模以及逻辑推理的核心素养。

问题（5）进一步类比数轴突破难点，突出重点，加深对参数的几何意义的直观理解。

问题（6）让学生加强认识直线的参数方程中各个量的含义，为正确使用打下基础。

问题（7）（8）通过对例1的解题过程的分析和引导学生小结由特殊到一般，反思归纳总结，加强对知识的理解，积累数学活动经验，形成知识技能。

2、关注学生的发展。在教学中，充分地体现了学生的主体地位，学生在自主探究、合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识、技能和思想方法。本节课学生活动比较充分，有学生独立思考与交流合作多种形式，课堂学生的实际生成比较多，学生思维踊跃，学生活动比较充分。根据本节课的内容特点，在直线参数方程的探索过程中，学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等数学核心素养得到培养，而在直线参数方程的应用过程中，学生数学运算的素养得以提升。整个教学活动过程，师生在交往互动中、共同发展。

3、不足之处：本节课知识容量比较大，加上向量几何的引入，知识变得抽象难以理解，在参数的选择上学生缺乏经验，以致教师难以引导把控，学生之间探讨交流合作不够充分，教师的引导也略显牵强，少了一点水到渠成的流畅。由于时间仓促，知识的强化运用不够充分，学生对参数的几何意义的理解和实际应用还存在问题，有待第二课时巩固加强。